1.函数、极限与连续
1.邻域
其中a为邻域中心，\(\delta\)为半径
\(\mathring{U}(a,\delta)\)为去心邻域，即x不等于a
2.反函数
（1）如何计算一个函数的反函数：
若有\(y=f(x)\),则其反函数记为\(y=f^{-1}(x)\)，将x与y互换位置并求解y 即为其反函数。
（2）反函数的性质：
1函数的定义域即为其反函数的值域；同样，函数的值域即为其反函数的定义域
2单调性不变
3.复合函数
（1）奇偶性质：
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奇函数与奇函数复合为奇函数
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奇函数与偶函数复合为偶函数
-
偶函数与偶函数复合为偶函数
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\(f(x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]\)（可以看为一个奇函数和一个偶函数的和）
4.极限
（1）定义：
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数列的极限：\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a:\forall\epsilon>0,\exists N>0,while\ n>N,|x_n-a|<\epsilon\)
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函数的极限：\(\lim\limits_{n\to x_0}f(x)=A:\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,while\ 0<|x-x_0|<\delta,|f(x)-A|<\epsilon\)
（2）性质：
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极限存在必唯一
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\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}x_{2n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_{2n-1}=a\)
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\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A\)
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-
若\(\lim\limits_{x\to\cdot}f(x)=A(\exists)\)，\(f(x)\)在\(x\to\cdot\)的过程中处处有定义。只要有一个点是无定义点，此极限就不存在。
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\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)-A=a(x),\lim\limits_{x\to x_0}a(x)=0\)
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如果\(f(x)\)单调递减（递加）并且有下界（上界），则\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)必存在
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局部保号性：假设\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\neq0\)，则存在一个去心邻域，在此邻域内\(f(x)\)与\(A\)同号
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局部有界性：假设\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)，则存在\(M>0\)，当\(x\to x_0\)时，\(|f(x)|=M\)
（3）计算：
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思路：优先提取能够计算出来的因子；对分式化成倒三角形；三角代换和倒代换
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四则运算法则：同趋向下，可加减乘除、数乘。
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有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的和、积均是无穷小。
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几个重要的极限
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利用等价无穷小进行替换乘除因子。以下常用的等价无穷小\(x\to0\)
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洛必达法则，只有在计算后的极限存在才可用。
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泰勒公式。
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\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n f(\frac{i}{n})=\int_0^1f(x)dx\ \ \ (\frac{i}{n}换成了x)\)
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夹逼准则，除了下述的两条，还需灵活运用。
（4）计算极限时常见的形式：
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常见形式
5.连续
（1）定义：
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满足\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)则称\(f(x)\)在点\(x_0\)连续
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满足\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\)则称\(f(x)\)在点\(x_0\)左连续
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满足\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\)则称\(f(x)\)在点\(x_0\)右连续
（2）性质：
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连续函数的和差积商仍为连续函数
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\(f(x)在[a,b]上连续，则：\)
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\(f(x)在[a,b]上有界\)
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\(f(x)在[a,b]上有最大值、最小值\)
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\(m\leq\mu\leq M，则至少存在一点\xi\in[a,b]，使f(\xi)=\mu\)
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\(f(a)f(b)<0，则至少存在一点\xi\in[a,b]，使f(\xi)=0\)
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（3）间断：
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不满足\(\underbrace{\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)}_a=\underbrace{\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)}_b=\underbrace{f(x_0)}_c\)，这些点出现在无定义点、分段函数的分段点
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1.\(a\neq b:跳跃间断点\)
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2.\(a=b\neq c\ or\ f(x_0)无定义:可去间断点\)
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3.\(a=\infty\ or\ b=\infty:无穷间断点\)
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4.\(a\ or\ b\ 振荡：振荡间断点\)
（1、2为第一类间断点，3、4为第二类间断点）
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（4）反函数与复合函数的连续性：
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反函数的单调性及连续性均不变
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\(设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\circ g}.\ 若\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0，而函数y=f(u)在u=u_0连续，则\)
- \(设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\circ g}.\ 若函数u=g(x)在x=x_0连续，且g(x_0)=u_0,\)
\(而函数y=f(u)在u=u_0连续，则y=f[g(x)]在x=x_0也连续\)
（5）初等函数的连续性：
- 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的