3.微分中值定理和导数的应用

1.费马定理

\(若f(x)在x=x_0处可导，并取到极值，则f'(x_0)=0\)

2.罗尔定理

\(若f(x)满足：[a,b]上连续，(a,b)上可导，f(a)=f(b)，则\exists\xi\in(a,b)，使f'(\xi)=0\)

3.拉格朗日中值定理

\(若f(x)满足：[a,b]上连续，(a,b)上可导，则\exists\xi\in(a,b)，使f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\)

4.柯西中值定理

\(若f(x)，g(x)满足：[a,b]上连续，(a,b)上可导，g'(x)\neq0，则\exists\xi\in(a,b)，使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\)

（相当于拉格朗日中值定理在参数方程中的应用）

5.凹凸性

• 定理一

  \(设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x_1,x_2恒有\)

  \[ f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}, \]

  \(那么就称f(x)在I上的图形是凹的，反之为凸的\)

• 定理二

  \(任意区间上f''(x)>0为凹；反之为凸\)

6.驻点、拐点

• \(驻点：f'(x_0)=0\)

• \(拐点：f''(x_0)=0\),凹凸的分界点

7.渐近线

• 水平渐近线：\(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=b\)，则$ y=b $为水平渐近线

• 铅直渐近线：\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty\ or\ \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\)，则\(x=x_0\)为铅直渐近线

• 斜渐近线：\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a,\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b\)，则\(y=ax+b\)为斜渐近线

8.曲线

• 弧微分：\(ds=\sqrt{1+y'^2}dx\)

• 曲率：\(K=\frac{y''}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}\)

• 曲率圆与曲率半径：\(\rho=\frac{1}{K}\)