4.不定积分
1.原函数与不定积分
（1）定义
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若\(F(x)'=f(x)或dF(x)=f(x)dx\)，则称\(F(x)为f(x)的一个原函数\)
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求解原函数的过程称为不定积分：
（2）性质：
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连续函数一定存在原函数
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如果\(f(x)\)有一个原函数，则\(f(x)\)有无限个原函数
2.不定积分的计算
（1）基本积分公式
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\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C,k\neq -1\)
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\(\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C\)
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\(\int a^xdx=a^x\frac{1}{ln\ a}+C,a>0\ and\ a\neq1\)
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\(\int e^xdx=e^x+C\)
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\(\int sin(x)dx=-cos(x)+C\)
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\(\int cos(x)dx=sin(x)+C\)
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\(\int tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C\)
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\(\int cot(x)dx=ln|sin(x)|+C\)
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\(\int sec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+C\)
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\(\int csc(x)dx=ln|csc(x)-cot(x)|+C\)
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\(\int sec^2(x)dx=tan(x)+C\)
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\(\int csc^2(x)dx=-cot(x)+C\)
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\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
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\(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
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\(\int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
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\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
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\(\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C\)
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\(\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\)
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\(\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\)
（2）凑微分
- \(u'(x)dx=du(x)\)
（3）换元法
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三角代换
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倒代换
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整体复杂代换
（4）分部积分